从一道奥数题的2种解题思路看数学学习模式及其选择
本帖最后由 Manddy 于 2019-1-21 18:49 编辑去年千帆有位小一家长发帖求教如何使用《奥数教程》，请坛友们以植树问题为例各抒己见。以一道最简单的植树问题为例：在一条长20米的路的一边植树，每隔5米植一颗，头尾都植，一共需要几棵树？
市面上主流奥数教材和教学视频的解法是用公式：棵数=间隔数+1=距离÷间隔长 +1。应该说众多奥数书和视频都很努力，想尽了办法想让学生理解这个公式，有的还搬出手指和指缝进行类比。我相信很多家长也是如此，绞尽脑汁唾沫横飞要让孩子搞明白奥数教材上的思路，画图比喻十八般武器齐上阵。最后孩子似乎懂了，会做题了，也能把公式推导复(背)述(诵)下来了，却回答不了一个基本问题：“这个思路是怎么想出来的？”题目中并没有出现“间隔数”，一开始你怎么知道要去思考间隔数和棵数的关系？这样教孩子实际上就是在教套路：不是教孩子怎么思考并形成自己的解题方案，而是教怎么看懂别人的解题过程，下次碰到这类问题就按照这个思路做。结果就是孩子学会了解植树问题、行程问题、工程问题等等各类问题但就是没学会思考，没学会怎么用数学来解决问题，碰到没见过的新题型多半就傻眼了。特别是构造类问题如抽屉原理，简直就是套路娃杀手，你做10道题学了10种抽屉构造方式，出题老师那里还有20种你没见过的构造方式等着呢。论坛上常见的“孩子没接触过这类题型、没奥过，所以不会做”这类发言也基本可以归因于只学了套路。而且，“学套路”很可能给孩子造成一种印象：数学解题就是学前人已经归纳总结好的套路；数学解题没什么道理，就是靠各种“神来之笔”、”灵光一闪“，进而又归结为“天赋”：我没有天赋，所以学不好数学，奥不出来。
与“学套路”相对的学习模式是“学思路”，要学会思考，正面回答“思路是怎么来的”这个问题。用吃药治病来类比一下两种学习方法：“学套路”关心的是A病该吃什么药，B病该吃什么药……好一点的“学套路”会问为什么A病吃M药能治好，得到的答案可能是“A病是由X细菌引起，M药能破坏X细菌的DNA结构”，到此为止。“学套路”不会追问“怎么想到要去破坏DNA结构”、“为什么不通过抑制蛋白质合成来消灭细菌”，而这些问题恰恰是“学思路”要关心的事情。为此，家长在辅导时解题思路就不能从天上掉下来，而是要在对问题的探索分析中产生。
比如植树问题，孩子一拿到手不知道用什么数学知识去解决，那就别想太多，直接按照题目要求来做，题目说要植树那我们就植树，植好了从头到尾数一数就知道需要几棵树了。植真树不现实但我们可以用家里的积木来代表树，也可以用纸笔画画来模拟植树。要植树，那就得知道植的位置。题目说两端都要植，那么在路的起点处放（画）一棵树。题目又说隔5米种一棵，那么第2棵树就在离起点5米的位置，第3棵树和第2棵树又隔5米，也就是在离起点5+5=10米的位置，以此类推第4棵树在10+5=15米的位置，第5棵树在15+5=20米的位置，恰好这就是题目中路的总长度，植树任务完成。植完了数一数发现一共有5棵树，这就是问题的答案。不过，每次都要算出一棵棵树的具体位置然后再数一遍，这样太麻烦了。家长可以不断增大题目的数字拿给小朋友做，一方面是让他们加深对思路的理解，另一方面是打破舒适区，逼他们去探索一般规律、找到更好的解题方案。题目已知条件都是和树的位置有关，我们刚才也已经把每棵树的位置算出来了，那么很自然想到去看看树的位置排列有没有什么规律？如果有，能不能从中发现棵数的快速计算方法？把代表每棵树位置的数依次写出来：0 5 10 15 20，这是一个数列，而且不难发现恰好是等差数列，树的棵数就是等差数列的项数。于是原题就转化为“等差数列已知首末项和公差，求项数”，公式：项数=(末项-首项)/公差+1。按主流思路，植树问题和等差数列分属两个模块，要记两套公式。在数列思路中，植树问题不过是等差数列的一个应用，知识体系和思路统一性加强，要记忆的公式也少了，对普娃当然是利好。而且，主流思路中的间隔并不是一个数学对象，以间隔为基础的公式也不是一个标准数学模型；而数列是一个标准的数学模型，其中的首项、末项、公差都是数学对象。把实际题目转换为标准数学模型的好处是可以利用前人的研究探索成果，举一反三。还是以植树问题为例，如果相邻两棵树间隔不等，是变化的，比如题目改成”路长55米，两端都种树，第2棵和第1棵相隔1米，第3棵和第2棵相隔2米，第4棵和第3棵相隔3米，以此类推，那么一共需要多少棵树”。此时，棵数=间隔数+1的基本关系依然成立，可间隔数无法再简单地由路长÷间隔长得到了，主流思路失效。而数列思路依然能战，此时数列变为0 1 3 6 …… 55，这也是个著名的数列，仔细观察会发现：0=0，1=0+1，3=0+1+2，6=0+1+2+3，第n项是0到n-1之和，也就是三角形数。而55=0+1+2+……10，因此55是第11项，一共需要11棵树。
看到这里各位可能以为我是diss“学套路”、推荐“学思路”了，但我要说的是“It depends” 。我不认为一种学习模式可以包治百病，适用于所有人。所谓因材施教，一种学习模式好不好，不能光看收益，还得看成本，而且收益成本还得结合自身目标来分析。现在大家在讨论学习方法时往往只看收益忽略了成本和自身的目标，盲目跟风。前两年老大在千帆公号有篇文章，讲两个高考英语牛娃的故事，一个原版路线，一个应试路线。文中有句经典名言（大意）：不管什么路线，如果高考英语成绩不行，那这个路线就是有问题的。去年年末老大在公号又写了篇文章，再次强调“原版是个好东西，但只有少数家庭能驾驭”。老大的这些话对我触动很深，他说的就是路线选择要考虑成本和目标。所以，论坛上原版VS应试优劣之争我几乎没参与，我家娃英语启蒙也从来是遵循实用主义。原版路线的合理内容如“抓住语言启蒙黄金时间”、”从听说入手，原版阅读”要借鉴（这确实是传统应试路线的一大软肋。即便是NCE这样的二外教材也强调听说读写的依赖关系，而传统应试路线受教学安排、条件所限，听说读写被压缩到极其有限的时间内完成，一堂课完成三个甚至四个环节），至于“原版路线不要中文翻译”这类做法就算了，我家经常是一大段中文铺垫情境只为讲一两句英语。
数学学习和英语学习是类似的，模式或者说路线选择也要结合自身目标做成本收益分析。我刚才的确说了“学套路”不少坏话，但各位家长要明白，“学套路”的成本也很低，首先各大机构就是教套路的老手。就算自鸡，可供参考的资料也是汗牛充栋，一个公式你推导给娃看他看不懂，祭出搜索引擎可能五六种推导方式唾手可得，还有名师配套视频。反之，如果你要教思路，那可没什么现成的资料，需要家长耗费更多的时间、精力备课。而且，家长千辛万苦想出来的思路，小朋友可能觉得太跳跃，而小朋友自己往往又有许多奇思妙想。所以家长面临的最大挑战可能还不是自己从零开始想出一个思路形成过程，而是如何顺着孩子已有的思路，将其转化为规范的数学思维并导向正确答案。
如果你的孩子对数学非常感兴趣或者你对孩子的数学有比较高的追求，那套路可能不是一种好的学习模式。但如果你的目标就是应试升学就业（我相信大多数家庭对数学的态度就是如此），那套路、刷题可能是性价比极高的一种学习模式。如果非要“学思路”，反而得不偿失。还是老大那句话：不管什么路线，如果奥数/校数/升学成绩不行，那这个路线就是有问题的，就是失败的。
本帖最后由 daidai_BoRIk 于 2019-1-20 16:16 编辑
第二个方法吧，是教天才的。第一个办法才是教凡人。因为大部分都是凡人，所以机构才选了第一种方法。用数学的语言来说，机构选择了最优解。用经济学的语言来说，第二种方法是没有效率的。因为真正能学会的孩子就那么一些，而这些孩子吧，你不教他们，随着课业的深入，他们自己也能发现规律。而第一种方法才是经济了，能保证大部分普通人在智商水平线上，又快有好的把一些基础问题给解出来。用人文的语言来解释这个事情就是，既然智者总结出了规律，大部分普通人要做的就是站在智者的肩膀上去学会就好了。发扬智者的智慧是精英们干的事情。最后回到哲学的语言，存在即合理。
需要回复看到，看看 写了好多，一个线和点都解决了…… 需要回复看到，看看 回复看看 用数学归纳法找思路 回复看看66666
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一下下 天赋这东西很多人不承认，但存在 画图比较好理解吧 向前辈们学习学习学习！ 回复看看，学习无止尽。 急切要看
回复看隐藏 回复看看，学习学习 为了看方法二 回复看看
回复看答案，感谢楼主 看看方法。 本帖最后由 amandag 于 2019-1-20 19:51 编辑
能理解套路的原理，将套路为我所用的孩子已经至少是top 1%了 直接让孩子自己画下不就明白了，这种题为什么要记公式。100米不会，10米画画 回复想看看 看看第二种方法 看看方法
看看第二种方法 尽信书不如无书……
看看哈http://www.qianfanedu.cn//mobcent//app/data/phiz/default/19.png
看看隐藏内容 看看回复。。。。。 过来看看看 回复学学。 学习看看看 回复看看是怎么回事 好奇，看看 仅就楼主举的例子做个探讨，至于套路还是思路这个各有各的选择，没啥好讨论的。
思路一是作者批判的对象，我算是部分认同。
但是这个思路二可以说就很清奇了！
植树问题什么时候小朋友会遇到？在奥数教材里，属于一、二年级的内容吧？真的鸡血的家庭，可能孩子在幼儿园大班就做过了。
那么，植树问题难么？至少对于一、二年级的小朋友来说一点都不难！出门沿着街边走一走，或者动手画一画，就能够发现其中的规律，并且在家长/老师的引导下来推理。
也就是说，这个难度级别的植树/间隔问题，放在奥数一、二年级教材里面，基本没有违背这个年龄孩子的学习和接受能力！
对于一、二年级的孩子而言，分类（分组）是已经初步掌握的一种能力，也是对于世界的认知的发展的必要一环。一个班级的学生分成男女两个性别，一个年级分成6个班级每个班级40人，3个篮子每个篮子里有3个苹果和一个梨。。。。等等诸如此类。那么植树问题就是：一棵树“管上”它后面的一段路，从第一棵开始一直下去，然后在最后加一棵树收尾！每组：一棵树+一段路，有n组，最后+1棵树收尾。
一个明显可以用适龄孩子可以理解的，并且是更加根本的“分组”的变形应用，非要搞到等差数列上去。正规教纲等差数列是几年级的内容？这才是违背正常认知能力的好不好？这才是硬扯套路啊！
深有同感，中班娃没有鸡，只是生活中教他数数，其他的都是靠他自己悟 我就是来看看 非常棒
感谢分享 回复看思路 没觉得需要讲到绞尽脑汁唾沫横飞啊，实物摆一摆或者点线画一画就明白了啊，总结下“套路”，有利于快速做题也没啥不好啊！
低幼的题目，形象思维向抽象思维过度比较适合，要是都懂等差数列求和求项数了，还需要做这种低幼的题？ 谢谢楼主答疑 需要回复看到，看看 谢谢分享～ 回复看看隐藏内容 想看第二种方法
想看答案。
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